Appliquer les relations entre coefficients et racinesExprimer une somme symétrique à l'aide des σ_k
On note $x_1,x_2,x_3$ les racines complexes, comptées avec multiplicité, de $P=X^3+2X^2-X+3$.
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Calculer $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$.
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Calculer $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.
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Justifier que les racines sont non nulles et calculer $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\dfrac1{x_3}$.
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Calculer $\dfrac1{x_1^2}+\dfrac1{x_2^2}+\dfrac1{x_3^2}$.
Indice 1
Pour un polynôme unitaire de degré $3$ : $\sigma_1=-a_2$, $\sigma_2=a_1$, $\sigma_3=-a_0$.
Indice 2
Développer $(x_1+x_2+x_3)^2$.
Indice 3
Pour la question 4, appliquer la même idée aux nombres $\frac1{x_i}$ et exprimer $\sum_{i<j}\frac1{x_ix_j}$ à l'aide de $\sigma_1$ et $\sigma_3$.
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