Exercice 14 · Racines de (X+1)^n−(X−1)^n et somme des cotangentes au carré
Premiumapprofondissement●●●Soit $n\geq 2$ et $P_n=(X+1)^n-(X-1)^n$.
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Pour $1\leq j\leq n$, déterminer le coefficient de $X^{n-j}$ dans $P_n$. En déduire le degré de $P_n$, son coefficient dominant et le coefficient de $X^{n-2}$, ainsi que celui de $X^{n-3}$ lorsque $n\geq 3$.
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Montrer que les racines complexes de $P_n$ sont les nombres $z_k=-i\cot\dfrac{k\pi}{n}$, $1\leq k\leq n-1$, et qu'elles sont simples.
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En déduire la factorisation de $P_n$ dans $\mathbb{C}[X]$.
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On suppose $n\geq 3$. Montrer que $$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}{n}=\frac{(n-1)(n-2)}{3}.$$
Développer les deux puissances par la formule du binôme : le coefficient de $X^{n-j}$ fait apparaître $1-(-1)^j$.
$1$ n'est pas racine de $P_n$ ; pour $z\neq 1$, $P_n(z)=0$ équivaut à $\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^n=1$. Exprimer ensuite $z$ en fonction de $u=\frac{z+1}{z-1}$.
Pour $u=e^{i\theta}$, factoriser $e^{i\theta}+1$ et $e^{i\theta}-1$ par $e^{i\theta/2}$. Pour la question 4, calculer $\sum z_k^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$.
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