Prépa, 1re année › Polynômes › Relations entre coefficients et racines

Relations entre coefficients et racines : énoncé (MPSI)

Théorème

Relations entre coefficients et racines

Soit $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ un polynôme de degré $n\geq 1$, scindé sur $\mathbb{K}$, de racines $x_1,\dots,x_n$ comptées avec multiplicité. Alors, pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$ : $$\sigma_k=(-1)^k\,\frac{a_{n-k}}{a_n}.$$ En particulier $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ et $\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$.

Démonstration : Relations entre coefficients et racines

Démonstration

Relations entre coefficients et racines

On développe $\prod_{i=1}^{n}(X-x_i)$ en choisissant, dans chaque facteur, soit $X$, soit $-x_i$. Un terme en $X^{n-k}$ s'obtient en choisissant $-x_i$ dans exactement $k$ facteurs, d'indices $i_1<\cdots<i_k$, et $X$ dans les autres ; il vaut $(-1)^kx_{i_1}\cdots x_{i_k}X^{n-k}$. En sommant sur toutes les parties à $k$ éléments : $$\prod_{i=1}^{n}(X-x_i)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\sigma_kX^{n-k}\qquad(\sigma_0=1).$$ Comme $P=a_n\prod_{i=1}^n(X-x_i)$, l'identification des coefficients de $X^{n-k}$ donne $a_{n-k}=a_n(-1)^k\sigma_k$, d'où le résultat.

Exemple

Degrés 2 et 3

Polynôme	Relations
$aX^2+bX+c$, racines $x_1,x_2$	$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
$aX^3+bX^2+cX+d$, racines $x_1,x_2,x_3$	$\sigma_1=-\dfrac{b}{a}$, $\sigma_2=\dfrac{c}{a}$, $\sigma_3=-\dfrac{d}{a}$

Exemple

Calcul sans connaître les racines

Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines complexes de $P=X^3-2X^2+3X-5$ ($P$ est scindé sur $\mathbb{C}$, voir section suivante). On lit $\sigma_1=2$, $\sigma_2=3$, $\sigma_3=5$.

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=4-6=-2$.
Les racines sont non nulles car $\sigma_3\neq 0$, et $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\dfrac1{x_3}=\dfrac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_3}=\dfrac35$.

La somme des carrés est négative : les trois racines ne sont donc pas toutes réelles.

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Dans le cours

Polynômes : Relations entre coefficients et racines