Exercice corrigé : Factorisation de X^6+8 et de X^4+X^2+1

1. On cherche $z=re^{i\theta}$ ($r>0$) tel que $z^6=-8=8e^{i\pi}$. Cela équivaut à $r^6=8$ et $6\theta\equiv\pi\ [2\pi]$, soit $r=\sqrt2$ et $\theta=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{3}$. On obtient six racines distinctes, pour $k=0,\dots,5$ : $$z_k=\sqrt2\,e^{i(2k+1)\pi/6},\quad\text{d'arguments } \frac\pi6,\ \frac\pi2,\ \frac{5\pi}6,\ \frac{7\pi}6,\ \frac{3\pi}2,\ \frac{11\pi}6.$$ Un polynôme unitaire de degré $6$ ayant $6$ racines distinctes est le produit des $X-z_k$ : $$X^6+8=\prod_{k=0}^{5}\Big(X-\sqrt2\,e^{i(2k+1)\pi/6}\Big).$$ Dans $\mathbb{R}[X]$, on regroupe les racines conjuguées : $\frac\pi6$ avec $\frac{11\pi}6$, $\frac\pi2$ avec $\frac{3\pi}2$, $\frac{5\pi}6$ avec $\frac{7\pi}6$. Les modules au carré valent $2$, et $$\mathrm{Re}\big(\sqrt2e^{i\pi/6}\big)=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2},\quad \mathrm{Re}\big(\sqrt2e^{i\pi/2}\big)=0,\quad \mathrm{Re}\big(\sqrt2e^{5i\pi/6}\big)=-\frac{\sqrt6}{2}.$$ Donc $$X^6+8=(X^2+2)(X^2-\sqrt6X+2)(X^2+\sqrt6X+2).$$ Les discriminants valent $-8$, $6-8=-2$ et $-2$ : les trois facteurs sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$.

Vérification : $(X^2+2-\sqrt6X)(X^2+2+\sqrt6X)=(X^2+2)^2-6X^2=X^4-2X^2+4$, et $(X^2+2)(X^4-2X^2+4)=X^6+8$.

2. $X^4+X^2+1=(X^4+2X^2+1)-X^2=(X^2+1)^2-X^2$, donc $$X^4+X^2+1=(X^2-X+1)(X^2+X+1).$$ Les deux facteurs ont pour discriminant $1-4=-3<0$ : ils sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$, et c'est la factorisation dans $\mathbb{R}[X]$.

Dans $\mathbb{C}$, les racines de $X^2-X+1$ sont $\frac{1\pm i\sqrt3}{2}=e^{\pm i\pi/3}$, et celles de $X^2+X+1$ sont $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}=e^{\pm 2i\pi/3}$. Donc $$X^4+X^2+1=\big(X-e^{i\pi/3}\big)\big(X-e^{-i\pi/3}\big)\big(X-e^{2i\pi/3}\big)\big(X-e^{-2i\pi/3}\big).$$

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