Prépa, 1re année › Polynômes › Identités utiles
Identités utiles : énoncé (MPSI)
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Identités utiles
Par unicité du polynôme d'interpolation, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$ : $$\sum_{i=0}^{n}x_i^kL_i=X^k,\qquad\text{en particulier}\qquad \sum_{i=0}^{n}L_i=1 .$$ Plus généralement, pour tout $P\in\mathbb{K}_n[X]$ : $P=\sum_{i=0}^nP(x_i)L_i$.
Remarque
Lien avec l'algèbre linéaire
Le théorème signifie que l'application $P\mapsto(P(x_0),\dots,P(x_n))$ est une bijection linéaire de $\mathbb{K}_n[X]$ sur $\mathbb{K}^{n+1}$, et que $(L_0,\dots,L_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$. Ce point de vue sera repris dans le chapitre sur les espaces vectoriels. L'étude de l'erreur d'interpolation $f(x)-P(x)$ pour une fonction $f$ est hors programme en première année, mais apparaît souvent dans les sujets de concours sous forme guidée.
S’entraîner
- Degré et coefficient dominant
- Poser une division euclidienne
- Multiplicité d'une racine et factorisation