Existence et unicité du polynôme d'interpolation : énoncé (MPSI)
Existence et unicité du polynôme d'interpolation
Il existe un unique polynôme $P\in\mathbb{K}_n[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i\in\{0,\dots,n\}$ : $$P=\sum_{i=0}^{n}y_iL_i .$$ Les polynômes $Q\in\mathbb{K}[X]$ (sans condition de degré) qui vérifient $Q(x_i)=y_i$ pour tout $i$ sont exactement les $$Q=P+\Big(\prod_{j=0}^{n}(X-x_j)\Big)S,\qquad S\in\mathbb{K}[X].$$
Démonstration : Existence et unicité du polynôme d'interpolation
Interpolation de Lagrange
Existence. $P=\sum y_iL_i$ est de degré $\leq n$ comme combinaison des $L_i$, et $P(x_k)=\sum_i y_i\delta_{i,k}=y_k$.
Unicité. Si $P_1,P_2\in\mathbb{K}_n[X]$ conviennent, $P_1-P_2\in\mathbb{K}_n[X]$ s'annule en les $n+1$ points distincts $x_0,\dots,x_n$, donc $P_1-P_2=0$.
Solutions générales. $Q$ convient si et seulement si $Q-P$ s'annule en tous les $x_j$, c'est-à-dire, les $x_j$ étant distincts, si et seulement si $\prod_{j}(X-x_j)$ divise $Q-P$ (section 3).
S’entraîner
- Poser une division euclidienne
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Interpolation en quatre points
- Les racines de la somme partielle de l'exponentielle sont simples
Dans le cours
Polynômes : Existence et unicité du polynôme d'interpolation