Déterminer une multiplicité par les dérivées successivesUtiliser la formule de TaylorFactoriser dans R[X] et C[X]
Soit $P=X^5-3X^4+4X^3-4X^2+3X-1$.
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Montrer que $1$ est racine de $P$ et déterminer son ordre de multiplicité.
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À l'aide de la formule de Taylor en $1$, factoriser $P$ dans $\mathbb{R}[X]$, puis dans $\mathbb{C}[X]$.
Indice 1
Calculer $P(1)$, $P'(1)$, $P''(1)$, … jusqu'à la première valeur non nulle.
Indice 2
$P$ est de degré $5$ : la formule de Taylor en $1$ fait intervenir $P^{(k)}(1)$ pour $k\leq 5$.
Indice 3
Mettre $(X-1)^3$ en facteur et développer le polynôme restant en $X$.
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