Prépa, 1re année › Polynômes › Construire un polynôme d'interpolation
Construire un polynôme d'interpolation : méthode (MPSI)
Méthode
Construire un polynôme d'interpolation
- Vérifier que les abscisses $x_i$ sont deux à deux distinctes.
- Écrire chaque $L_i$ : au numérateur, le produit des $X-x_j$ pour $j\neq i$ ; au dénominateur, la valeur de ce produit en $x_i$.
- Former $P=\sum y_iL_i$ et développer si nécessaire.
- Contrôler $P(x_i)=y_i$ sur au moins deux points.
Exemple
Trois points
On cherche $P\in\mathbb{R}_2[X]$ avec $P(0)=1$, $P(1)=3$, $P(2)=7$. $$L_0=\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)}=\frac{(X-1)(X-2)}{2},\quad L_1=\frac{X(X-2)}{1\times(-1)}=-X(X-2),\quad L_2=\frac{X(X-1)}{2\times 1}=\frac{X(X-1)}{2}.$$ Alors $P=L_0+3L_1+7L_2=\dfrac{X^2-3X+2}{2}-3X^2+6X+\dfrac{7X^2-7X}{2}=4X^2-5X+1-3X^2+6X$, soit $$P=X^2+X+1 .$$ Contrôle : $P(0)=1$, $P(1)=3$, $P(2)=7$.
S’entraîner
- Poser une division euclidienne
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Interpolation en quatre points
- Les racines de la somme partielle de l'exponentielle sont simples