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Déterminer le degré et le coefficient dominant de $A=(2X+1)^3-8(X^3+1)$.
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Soit $n\geq 2$. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $$P_n=(X+1)^n-X^n-nX^{n-1}.$$
Développer $(2X+1)^3$ par la formule du binôme, puis regrouper.
Pour $P_n$, écrire $(X+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkX^k$ et isoler les deux termes de plus haut degré.
Le degré est l'indice du premier coefficient non nul en partant des puissances les plus hautes.
1. Par la formule du binôme, $$(2X+1)^3=(2X)^3+3(2X)^2+3(2X)+1=8X^3+12X^2+6X+1.$$ Donc $$A=8X^3+12X^2+6X+1-8X^3-8=12X^2+6X-7.$$ Les termes en $X^3$ se compensent et le coefficient de $X^2$ vaut $12\neq 0$. Donc $\deg A=2$ et le coefficient dominant de $A$ est $12$.
2. Par la formule du binôme, comme $\binom nn=1$ et $\binom n{n-1}=n$ : $$(X+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nkX^k=X^n+nX^{n-1}+\sum_{k=0}^{n-2}\binom nkX^k.$$ Donc $$P_n=\sum_{k=0}^{n-2}\binom nkX^k.$$ Tous les coefficients d'indice $k>n-2$ sont nuls, et le coefficient de $X^{n-2}$ vaut $\binom n{n-2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$, non nul car $n\geq 2$. Donc $\deg P_n=n-2$ et le coefficient dominant de $P_n$ est $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
Contrôle pour $n=3$ : $P_3=X^3+3X^2+3X+1-X^3-3X^2=3X+1$, de degré $1$ et de coefficient dominant $3=\frac{3\times 2}{2}$.
$\deg A=2$, coefficient dominant $12$ ; $\deg P_n=n-2$, coefficient dominant $\frac{n(n-1)}{2}$