Soit $p\in\,]0,1[$ et $N\geqslant2$ un entier. On lance $N$ fois une pièce qui donne pile avec probabilité $p$, les lancers étant mutuellement indépendants. Pour $k\in\{1,\dots,N\}$, on note $\Pi_k$ l'événement « le $k$-ième lancer donne pile ». Pour $n\in\{0,\dots,N\}$, on note $E_n$ l'événement « on obtient un nombre pair de piles lors des $n$ premiers lancers » (avec $E_0=\Omega$) et $q_n=P(E_n)$.
- Calculer $q_1$ et $q_2$.
- Soit $n\in\{0,\dots,N-1\}$. Montrer que $P(E_n\cap\Pi_{n+1})=p\,q_n$ et $P(\overline{E_n}\cap\overline{\Pi_{n+1}})=(1-p)(1-q_n)$, puis les deux égalités analogues.
- En déduire que $q_{n+1}=(1-2p)q_n+p$ pour $0\leqslant n\leqslant N-1$.
- Exprimer $q_n$ en fonction de $n$ et $p$. Vérifier avec la question 1.
- Que vaut $q_n$ lorsque $p=\frac12$ et $n\geqslant1$ ? Vers quoi tend l'expression obtenue quand $n\to+\infty$ si $p\neq\frac12$ ?
$E_1=\overline{\Pi_1}$ ; pour $E_2$, distinguer « deux faces » et « deux piles ».
$E_n$ ne dépend que des $n$ premiers lancers : l'écrire comme réunion disjointe d'événements $C_1\cap\cdots\cap C_n$ avec $C_i\in\{\Pi_i,\overline{\Pi_i}\}$.
Le nombre de piles après $n+1$ lancers est pair si et seulement si : il était pair et le lancer $n+1$ donne face, ou il était impair et le lancer $n+1$ donne pile.
Chercher le point fixe de la relation de récurrence.
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