- Soit $(\Omega,P)$ un espace probabilisé fini. Montrer que $\emptyset$ et $\Omega$ sont indépendants de tout événement.
- Soit $\Omega$ un ensemble de cardinal $p$, où $p$ est un nombre premier, muni de la probabilité uniforme. Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants. Montrer que $A\in\{\emptyset,\Omega\}$ ou $B\in\{\emptyset,\Omega\}$.
- Soit $n=ab$ avec $a\geqslant2$ et $b\geqslant2$ entiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la probabilité uniforme et on pose $A=\{k\in\Omega : k\equiv1\ [a]\}$ et $B=\{1,\dots,a\}$. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants et distincts de $\emptyset$ et de $\Omega$.
- Conclure : pour quels entiers $n\geqslant2$ existe-t-il, pour la probabilité uniforme sur un ensemble à $n$ éléments, deux événements indépendants tous deux distincts de $\emptyset$ et de $\Omega$ ?
Traduire $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ en une égalité entre entiers.
Un nombre premier qui divise un produit divise l'un des facteurs.
Pour la question 3, lister les éléments de $A$ : ce sont $1,1+a,1+2a,\dots$
Déterminer $A\cap B$ en remarquant que $B$ ne contient qu'un seul entier congru à $1$ modulo $a$.
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Pour tout événement $B$ : $P(\emptyset\cap B)=P(\emptyset)=0=P(\emptyset)P(B)$ et $P(\Omega\cap B)=P(B)=1\times P(B)=P(\Omega)P(B)$.
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Avec la probabilité uniforme, l'égalité $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ s'écrit $$\frac{\operatorname{card}(A\cap B)}{p}=\frac{\operatorname{card}A}{p}\times\frac{\operatorname{card}B}{p},\quad\text{soit}\quad p\operatorname{card}(A\cap B)=\operatorname{card}A\times\operatorname{card}B.$$ Le nombre premier $p$ divise donc le produit $\operatorname{card}A\times\operatorname{card}B$ ; d'après le lemme d'Euclide, il divise $\operatorname{card}A$ ou $\operatorname{card}B$. Supposons qu'il divise $\operatorname{card}A$. Comme $0\leqslant\operatorname{card}A\leqslant p$, on a $\operatorname{card}A\in\{0,p\}$, c'est-à-dire $A=\emptyset$ ou $A=\Omega$. De même si $p$ divise $\operatorname{card}B$.
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Les éléments de $A$ sont les entiers $1+ja$ avec $j\geqslant0$ et $1+ja\leqslant n=ab$. Pour $j\leqslant b-1$, $1+ja\leqslant1+ab-a\leqslant ab$ car $a\geqslant1$ ; pour $j=b$, $1+ab>n$. Donc $A=\{1+ja : 0\leqslant j\leqslant b-1\}$ et $\operatorname{card}A=b$, d'où $P(A)=\frac{b}{ab}=\frac1a$.
$\operatorname{card}B=a$, donc $P(B)=\frac{a}{ab}=\frac1b$.
Le seul élément de $B=\{1,\dots,a\}$ congru à $1$ modulo $a$ est $1$ (le suivant serait $1+a>a$). Donc $A\cap B=\{1\}$ et $$P(A\cap B)=\frac{1}{ab}=\frac1a\times\frac1b=P(A)P(B).$$ $A$ et $B$ sont indépendants. Enfin $1\leqslant b<n$ et $1\leqslant a<n$ (car $a,b\geqslant2$), donc ni $A$ ni $B$ n'est vide ou égal à $\Omega$.
Exemple : pour $n=4$, $a=b=2$, on obtient $A=\{1,3\}$ et $B=\{1,2\}$, avec $P(A\cap B)=\frac14=\frac12\times\frac12$.
- La probabilité uniforme ne dépend que du cardinal, quitte à renuméroter les éléments. D'après les questions 2 et 3, il existe deux événements indépendants distincts de $\emptyset$ et de $\Omega$ si et seulement si $n$ n'est pas premier.
Il existe deux événements indépendants non triviaux si et seulement si $n$ n'est pas premier