Exercice corrigé : Théorème d'Olivier et condensation de Cauchy (type Mines-Ponts)

Dans tout le problème, $(u_n)_{n\ge1}$ est une suite réelle positive et décroissante.

Partie A

1. On suppose que $\sum u_n$ converge et on note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$. Montrer que $nu_{2n}\le\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\le R_n$ pour $n\ge1$, puis que $nu_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
2. Montrer par un exemple que la réciproque est fausse.
3. Soit $(v_n)_{n\ge1}$ définie par $v_n=\frac1n$ si $n$ est un carré parfait et $v_n=\frac1{n^2}$ sinon. Montrer que $\sum v_n$ converge mais que $(nv_n)$ ne tend pas vers $0$. Quelle hypothèse de la question 1 est mise en défaut ?

Partie B 4. Montrer que pour tout $n\ge0$ : $$2^nu_{2^{n+1}}\le\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}u_k\le2^nu_{2^n}.$$ 5. En déduire que $\sum_{n\ge1}u_n$ et $\sum_{n\ge0}2^nu_{2^n}$ sont de même nature. 6. Applications. a) Retrouver la nature de $\sum\frac1{n^\alpha}$ pour $\alpha>0$. b) Soit $\beta>0$. Déterminer la nature de $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n(\ln n)^\beta}$.