Exercice corrigé : Équivalents par développements limités

1. Comme $\ln(1+x)\le x$ pour $x>-1$, $u_n\ge0$. Avec $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+o(x^2)$ et $x=\frac1n$ : $$u_n=\frac1{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\sim\frac1{2n^2}.$$ Comme $\sum\frac1{n^2}$ converge, $\sum u_n$ converge.

2. Comme $e^x\ge1+x$, $v_n\ge0$. Avec $e^x=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)$ : $v_n\sim\frac1{2n^2}$, donc $\sum v_n$ converge.

3. Pour $n\ge2$, $\ln n>0$ donc $n^{1/n}=e^{\ln n/n}>1$ et $w_n>0$. Comme $\frac{\ln n}n\to0$ et $e^y-1\sim y$ en $0$, $w_n\sim\frac{\ln n}{n}$. Pour $n\ge3$, $\ln n\ge1$, donc $\frac{\ln n}n\ge\frac1n$ : la série $\sum\frac{\ln n}n$ diverge par comparaison avec la série harmonique. Par équivalence de termes positifs, $\sum w_n$ diverge.

4. Pour $n\ge2$, $x_n>0$ et $x_n=\exp\left(n^2\ln\left(1-\frac1n\right)\right)$. Avec $\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}2+O(x^3)$ : $$n^2\ln\left(1-\frac1n\right)=n^2\left(-\frac1n-\frac1{2n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)=-n-\frac12+O\left(\frac1n\right).$$ Donc $x_n=e^{-1/2}\,e^{-n}\,e^{O(1/n)}$ et, comme $e^{O(1/n)}\to1$, $x_n\sim e^{-1/2}\left(\frac1e\right)^n$. La série géométrique de raison $\frac1e\in\,]0,1[$ converge, donc $\sum x_n$ converge.

Enregistre ta progression : crée ton compte gratuit