Exercice corrigé : Un nombre irrationnel défini par une série

On pose $x=\sum_{n=1}^{+\infty}10^{-n^2}=0{,}1001000010000001\ldots$

1. Justifier la convergence de la série et montrer que $x\in[0,1[$.
2. Soit $(d_k)_{k\ge1}$ définie par $d_k=1$ si $k$ est un carré parfait, $d_k=0$ sinon. Montrer que $(d_k)$ est le développement décimal propre de $x$.
3. Soit $y=\frac pq\in[0,1[$ avec $p\in\mathbb N$, $q\in\mathbb N^*$, de développement propre $(c_n)$. On pose $r_n=10^ny-\lfloor10^ny\rfloor$. a) Montrer que $qr_n\in\{0,\dots,q-1\}$. b) Montrer que $c_{n+1}=\lfloor10r_n\rfloor$ et $r_{n+1}=10r_n-\lfloor10r_n\rfloor$. c) En déduire que $(c_n)$ est périodique à partir d'un certain rang.
4. Montrer que $(d_k)$ n'est périodique à partir d'aucun rang et conclure que $x$ est irrationnel.