Convertir un développement périodique en fraction : méthode (MPSI)

Pour écrire $x=0{,}a_1\ldots a_r\,\overline{b_1\ldots b_p}$ sous forme de fraction :

1. Isoler la partie non périodique : $x=\frac{A}{10^r}+\frac{1}{10^r}\,0{,}\overline{b_1\ldots b_p}$, avec $A=a_1\ldots a_r$ lu comme entier.
2. Écrire $0{,}\overline{b_1\ldots b_p}=\sum_{k\ge1}\frac{B}{10^{pk}}=\frac{B}{10^p-1}$, avec $B=b_1\ldots b_p$ lu comme entier (série géométrique de raison $10^{-p}$).
3. Réduire au même dénominateur et simplifier.

Exemple : $0{,}1\overline{6}=\frac1{10}+\frac1{10}\cdot\frac69=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac16$.