Développement décimal propre : énoncé (MPSI)

Existence. On pose $d_n=\lfloor10^nx\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor$ pour $n\ge1$, entier. Avec $a=10^{n-1}x$ et $m=\lfloor a\rfloor$, on a $m\le a<m+1$, donc $10m\le10a<10m+10$, et comme $10m$ est entier, $10m\le\lfloor10a\rfloor\le10m+9$. Ainsi $d_n=\lfloor 10a\rfloor-10m\in\{0,\dots,9\}$.

Par définition, $\frac{d_n}{10^n}=x_n-x_{n-1}$. Comme $x\in[0,1[$, $x_0=\lfloor x\rfloor=0$, et par télescopage $$\sum_{k=1}^{n}\frac{d_k}{10^k}=x_n-x_0=x_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}x.$$ La série converge et a pour somme $x$.

Supposons que $d_k=9$ pour tout $k>N$. Alors $$x=x_N+\sum_{k=N+1}^{+\infty}\frac{9}{10^k}=x_N+9\cdot\frac{10^{-(N+1)}}{1-\frac1{10}}=x_N+10^{-N},$$ ce qui contredit $x<x_N+10^{-N}$. La suite n'est donc pas stationnaire à $9$.

Unicité. Soit $(c_k)$ une suite de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, telle que $x=\sum_{k\ge1}\frac{c_k}{10^k}$. Pour $n\ge0$ : $$0\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{c_k}{10^k}<\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{9}{10^k}=10^{-n},$$ l'inégalité stricte venant de ce qu'il existe $k>n$ avec $c_k\le8$. En multipliant par $10^n$ : $$10^nx=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}c_k10^{n-k}}_{\in\mathbb N}+\theta_n,\qquad\theta_n\in[0,1[.$$ Donc $\lfloor10^nx\rfloor=\sum_{k=1}^{n}c_k10^{n-k}$, puis $\lfloor10^nx\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor=c_n$. Ainsi $c_n=d_n$ pour tout $n\ge1$.