Développement asymptotiqueDivergence grossièreConvergence absolue
Pour $(a,b)\in\mathbb R^2$ et $n\ge1$, on pose $$u_n=\sqrt{n^2+n+1}-n-a-\frac bn.$$ Déterminer les couples $(a,b)$ pour lesquels $\sum u_n$ converge.
Indice 1
Factoriser $n^2$ sous la racine et utiliser $\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+O(x^3)$.
Indice 2
Obtenir un développement de $u_n$ de la forme $\alpha+\frac\beta n+O\left(\frac1{n^2}\right)$.
Indice 3
Discuter selon que $\alpha$, puis $\beta$, est nul ou non.
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