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Étudier une série de signe quelconque ou complexe : méthode (MPSI)

Méthode

Étudier une série de signe quelconque ou complexe

Vérifier que $u_n\to0$ ; sinon, divergence grossière.
Étudier $\sum|u_n|$ avec les outils des séries positives. Si elle converge, $\sum u_n$ converge.
Si $\sum|u_n|$ diverge, on ne peut rien conclure directement. On essaie alors :
- un développement asymptotique $u_n=v_n+w_n$ où $\sum v_n$ est de nature connue (série alternée de référence, télescopique) et $w_n$ est de signe constant ou absolument sommable ;
- une étude directe des sommes partielles (suites extraites $S_{2n}$ et $S_{2n+1}$, télescopage).
Ne jamais appliquer le critère des équivalents à des termes de signe non constant.

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