Domination par une série positive convergente : énoncé (MPSI)

• $\sum_{n\ge1}\frac{\sin n}{n^2}$ : $\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}$, la série est absolument convergente.
• $\sum\frac{e^{in\theta}}{2^n}$ pour $\theta\in\mathbb R$ : $\left|\frac{e^{in\theta}}{2^n}\right|=\frac1{2^n}$, absolument convergente ; c'est d'ailleurs une série géométrique de raison $\frac{e^{i\theta}}2$, de somme $\frac{2}{2-e^{i\theta}}$.
• $\sum(-1)^n\frac{n^3}{2^n}$ : $n^2\cdot\frac{n^3}{2^n}\to0$ par croissances comparées, donc $\left|(-1)^n\frac{n^3}{2^n}\right|=o\left(\frac1{n^2}\right)$ : absolument convergente.

Soit $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$. Montrons que $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes.

• $S_{2n+2}-S_{2n}=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0$ : $(S_{2n})$ croît.
• $S_{2n+3}-S_{2n+1}=-\frac1{2n+2}+\frac1{2n+3}<0$ : $(S_{2n+1})$ décroît.
• $S_{2n+1}-S_{2n}=\frac1{2n+1}\to0$.

Les deux suites convergent vers une même limite $\ell$, donc $(S_n)$ converge vers $\ell$ : la série $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge. Pourtant $\sum\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum\frac1n$ diverge : la série n'est pas absolument convergente. On dit qu'elle est semi-convergente. On peut montrer que $\ell=\ln2$.

Le même raisonnement montre que $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge. Alors $\sum\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\right)$ diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente), alors que $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ : c'est le contre-exemple annoncé sur les équivalents de signe non constant.