Étudier la nature des séries suivantes.
- $\sum_{n\ge1}\left(1+\frac1n\right)^n$
- $\sum_{n\ge1}n\sin\frac1n$
- $\sum_{n\ge0}\cos n$
- Le critère de divergence grossière permet-il de conclure pour $\sum_{n\ge1}\ln\left(1+\frac1n\right)$ ? Déterminer la nature de cette série.
Pour 1, écrire $\left(1+\frac1n\right)^n$ sous forme exponentielle.
Pour 3, raisonner par l'absurde en utilisant $\cos(2n)=2\cos^2n-1$ et la notion de suite extraite.
Pour 4, écrire le logarithme d'un quotient comme une différence.
-
Pour $n\ge1$, $\left(1+\frac1n\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)$. Comme $\ln(1+x)\sim x$ quand $x\to0$, on a $n\ln\left(1+\frac1n\right)\sim n\cdot\frac1n=1$, donc $n\ln\left(1+\frac1n\right)\to1$. Par continuité de l'exponentielle, $\left(1+\frac1n\right)^n\to e\neq0$. La série diverge grossièrement.
-
Comme $\frac1n\to0$ et $\sin x\sim x$ quand $x\to0$, on a $n\sin\frac1n\sim n\cdot\frac1n=1$, donc $n\sin\frac1n\to1\neq0$. La série diverge grossièrement.
-
Supposons par l'absurde que $\cos n\to0$. Alors $\cos(2n)=2\cos^2n-1\to-1$. Mais $(\cos(2n))_{n\in\mathbb N}$ est une suite extraite de $(\cos n)_{n\in\mathbb N}$, donc elle tend aussi vers $0$. Comme $-1\neq0$, c'est contradictoire. Ainsi $(\cos n)$ ne tend pas vers $0$ et $\sum\cos n$ diverge grossièrement.
-
Ici $\ln\left(1+\frac1n\right)\to\ln1=0$ : le critère ne permet pas de conclure, il ne sert qu'à prouver des divergences. On écrit $\ln\left(1+\frac1n\right)=\ln(n+1)-\ln n$. Par télescopage, $$\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1)\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty.$$ La série diverge, sans diverger grossièrement.
Les séries 1, 2, 3 divergent grossièrement ; la série 4 diverge (par télescopage), le critère ne conclut pas