Reconnaître une série géométriqueCalculer la somme d'une série géométriqueUtiliser la linéarité
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme.
- $\sum_{n\ge0}\frac{2^{n+1}}{3^n}$
- $\sum_{n\ge1}\left(-\frac14\right)^n$
- $\sum_{n\ge2}\frac{1+2^n}{4^n}$
Indice 1
Mettre chaque terme général sous la forme $C\,q^n$, ou sous la forme d'une somme de tels termes.
Indice 2
Vérifier $|q|<1$ avant tout calcul de somme.
Indice 3
Pour une somme qui commence au rang $n_0$ : premier terme divisé par $1-q$.
Corrigé
- Pour tout $n\in\mathbb N$, $\frac{2^{n+1}}{3^n}=2\left(\frac23\right)^n$. La série géométrique $\sum\left(\frac23\right)^n$ converge car $\left|\frac23\right|<1$. Par linéarité, la série converge et $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^{n+1}}{3^n}=2\cdot\frac{1}{1-\frac23}=2\times3=6.$$
- C'est la série géométrique de raison $q=-\frac14$, avec $|q|=\frac14<1$ : elle converge. Le premier terme (rang $1$) vaut $-\frac14$, donc $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac14\right)^n=\frac{-\frac14}{1+\frac14}=-\frac14\cdot\frac45=-\frac15.$$
- Pour $n\ge2$, $\frac{1+2^n}{4^n}=\left(\frac14\right)^n+\left(\frac12\right)^n$. Les deux séries géométriques $\sum_{n\ge2}\left(\frac14\right)^n$ et $\sum_{n\ge2}\left(\frac12\right)^n$ convergent (raisons de module $<1$). Par linéarité, la série converge et $$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1+2^n}{4^n}=\frac{(1/4)^2}{1-\frac14}+\frac{(1/2)^2}{1-\frac12}=\frac1{16}\cdot\frac43+\frac14\cdot2=\frac1{12}+\frac12=\frac7{12}.$$
Résultat :
$6$ ; $-\frac15$ ; $\frac{7}{12}$