- Vérifier que pour tout $k\geqslant1$ : $$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}.$$
- En déduire, pour $n\geqslant1$, $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ sous forme d'une seule fraction.
- Pour $n\geqslant2$, calculer $T_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2-1}$.
Pour la question 1, réduire au même dénominateur $k(k+1)(k+2)$.
Pour la question 3, écrire $\frac{1}{k^2-1}$ comme combinaison de $\frac{1}{k-1}$ et $\frac{1}{k+1}$.
La différence $\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}$ n'est pas une différence de deux termes consécutifs ; l'écrire $c_{k-1}-c_k$ avec $c_k=\frac1k+\frac1{k+1}$.
1. Au même dénominateur : $$\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}.$$
2. Posons $b_k=\frac{1}{k(k+1)}$. D'après la question 1, $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac12(b_k-b_{k+1})$. Par télescopage : $$S_n=\frac12\sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})=\frac12(b_1-b_{n+1})=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$ Au même dénominateur, $(n+1)(n+2)-2=n^2+3n=n(n+3)$, donc $$S_n=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$ Vérification pour $n=1$ : $\frac16$ et $\frac{1\times4}{4\times2\times3}=\frac16$.
3. Pour $k\geqslant2$, $\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-(k-1)}{k^2-1}=\frac{2}{k^2-1}$. Posons $c_k=\frac1k+\frac1{k+1}$ pour $k\geqslant1$. Alors $$c_{k-1}-c_k=\frac{1}{k-1}+\frac1k-\frac1k-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}.$$ Donc, par télescopage : $$T_n=\frac12\sum_{k=2}^{n}(c_{k-1}-c_k)=\frac12(c_1-c_n)=\frac12\left(\frac32-\frac1n-\frac1{n+1}\right).$$ Au même dénominateur : $\frac32-\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{3n(n+1)-2(n+1)-2n}{2n(n+1)}=\frac{3n^2-n-2}{2n(n+1)}$, et $3n^2-n-2=(n-1)(3n+2)$. Ainsi $$T_n=\frac{(n-1)(3n+2)}{4n(n+1)}.$$ Vérification pour $n=2$ : $\frac13$ et $\frac{1\times8}{4\times2\times3}=\frac13$.
$S_n=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$, $T_n=\frac{(n-1)(3n+2)}{4n(n+1)}$