Changements d'indice usuels : énoncé (MPSI)

Soient $p\leqslant q$ et $m$ des entiers.

• Translation ($j = k+m$) : $$\sum_{k=p}^{q} a_{k+m} = \sum_{j=p+m}^{q+m} a_j.$$
• Symétrie ($j = n-k$) : pour $n\in\mathbb{N}$, $$\sum_{k=0}^{n} a_{n-k} = \sum_{j=0}^{n} a_j.$$ Plus généralement $\sum_{k=p}^{q} a_{p+q-k} = \sum_{j=p}^{q} a_j$.

Les mêmes règles valent pour les produits. Un changement d'indice ne fait que renommer les termes : il ne modifie ni leur nombre ni leur valeur.