Somme télescopique : énoncé (MPSI)
Somme télescopique
Soient $p\leqslant q$ des entiers et $(a_k)$ une suite de complexes. Alors $$\sum_{k=p}^{q} (a_{k+1} - a_k) = a_{q+1} - a_p.$$ Si de plus les $a_k$ sont non nuls, on a le produit télescopique $$\prod_{k=p}^{q} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_{q+1}}{a_p}.$$
Démonstration : Somme télescopique
Preuve du télescopage
Par linéarité puis translation d'indice $j=k+1$ dans la première somme : $$\sum_{k=p}^{q} (a_{k+1}-a_k) = \sum_{j=p+1}^{q+1} a_j - \sum_{k=p}^{q} a_k.$$ Les termes d'indice $p+1$ à $q$ apparaissent dans les deux sommes et se simplifient. Il reste le terme d'indice $q+1$ de la première et le terme d'indice $p$ de la seconde : $$\sum_{k=p}^{q} (a_{k+1}-a_k) = a_{q+1} - a_p.$$ Pour le produit, la même démarche donne $\frac{\prod_{j=p+1}^{q+1} a_j}{\prod_{k=p}^{q} a_k} = \frac{a_{q+1}}{a_p}$.
Une somme télescopique classique
Calculons $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ pour $n\geqslant 1$.
Pour $k\geqslant 1$, $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1)-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$. Avec $a_k = -\frac1k$, le terme général s'écrit $a_{k+1}-a_k$. Donc $$S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k - \frac1{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$ Vérification pour $n=2$ : $\frac12 + \frac16 = \frac23$.
Un produit télescopique
Calculons $P_n = \prod_{k=2}^{n}\left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$ pour $n\geqslant 2$.
On factorise : $1-\frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{k-1}{k}\times\frac{k+1}{k}$. Donc $$P_n = \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}\right)\left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}\right) = \frac{1}{n}\times\frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}.$$ Le premier produit télescope en $\frac{1}{n}$, le second en $\frac{n+1}{2}$. Vérification pour $n=2$ : $1-\frac14 = \frac34 = \frac{3}{4}$.
S’entraîner
- Sommes usuelles par linéarité
- Télescopages directs
- Une somme arithmético-géométrique, deux méthodes
- Télescopage de fractions rationnelles
- Sommes doubles sur un carré