Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Loi de composition interne

Loi de composition interne : définition (MPSI)

Définition

Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne sur $E$ est une application $$E\times E\to E,\qquad (x,y)\mapsto x\star y.$$ Le mot « interne » signifie que $x\star y$ appartient à $E$ pour tous $x,y\in E$. Le couple $(E,\star)$ est appelé ensemble muni d'une loi.

Exemple

Lois usuelles

L'addition et la multiplication sont des lois internes sur $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$.
La soustraction est une loi interne sur $\mathbb Z$, mais pas sur $\mathbb N$ : $2-3\notin\mathbb N$.
La composition $\circ$ est une loi interne sur l'ensemble $E^E=\mathcal F(E,E)$ des applications de $E$ dans $E$.
L'intersection $\cap$ et la réunion $\cup$ sont des lois internes sur $\mathcal P(E)$.
La division n'est pas une loi interne sur $\mathbb R$ (division par $0$), mais elle l'est sur $\mathbb R^*$.

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Dans le cours

Structures algébriques usuelles : Loi de composition interne