On pose $G=]-1,1[$ et, pour $x,y\in G$, $x\star y=\dfrac{x+y}{1+xy}$.
- Justifier que $x\star y$ est bien défini, puis établir $$1-x\star y=\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy},\qquad 1+x\star y=\frac{(1+x)(1+y)}{1+xy}.$$ En déduire que $\star$ est une loi interne sur $G$.
- Soit $\varphi:G\to\mathbb R_+^*$, $x\mapsto\dfrac{1-x}{1+x}$. Montrer que $\varphi$ est bijective et que $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\varphi(y)$.
- En déduire que $(G,\star)$ est un groupe abélien ; préciser le neutre et le symétrique de $x$.
- Pour $n\in\mathbb N^*$, on note $x^{\star n}=x\star\cdots\star x$ ($n$ termes). Exprimer $x^{\star n}$ en fonction de $x$ et $n$, puis calculer $\left(\tfrac12\right)^{\star3}$.
$|xy|<1$ donne le signe de $1+xy$.
Pour la bijectivité de $\varphi$, résoudre $\varphi(x)=t$ pour $t>0$ donné.
L'associativité se transporte par l'injectivité de $\varphi$.
Utiliser $\varphi(x^{\star n})=\varphi(x)^n$.
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Pour $x,y\in G$, $|xy|=|x|\,|y|<1$, donc $1+xy>0$ et $x\star y$ est défini. On a $1+xy-(x+y)=(1-x)(1-y)$ et $1+xy+x+y=(1+x)(1+y)$, d'où les deux formules. Comme $1-x,1-y,1+x,1+y,1+xy$ sont strictement positifs, $1-x\star y>0$ et $1+x\star y>0$, soit $-1<x\star y<1$ : la loi est interne sur $G$.
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Pour $x\in G$, $1-x>0$ et $1+x>0$, donc $\varphi(x)\in\mathbb R_+^*$. Soit $t>0$. Pour $x\in G$ : $$\varphi(x)=t\iff1-x=t+tx\iff x=\frac{1-t}{1+t}.$$ Ce réel est dans $G$ car $|1-t|<1+t$ pour $t>0$. Tout $t>0$ a donc un unique antécédent : $\varphi$ est bijective, de réciproque $\psi(t)=\dfrac{1-t}{1+t}$. En divisant les deux égalités de la question 1 : $$\varphi(x\star y)=\frac{1-x\star y}{1+x\star y}=\frac{(1-x)(1-y)}{(1+x)(1+y)}=\varphi(x)\varphi(y).$$
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La commutativité est évidente sur la formule. Associativité : pour $x,y,z\in G$, $$\varphi((x\star y)\star z)=\varphi(x\star y)\varphi(z)=\varphi(x)\varphi(y)\varphi(z)=\varphi(x)\varphi(y\star z)=\varphi(x\star(y\star z)),$$ et $\varphi$ est injective, donc $(x\star y)\star z=x\star(y\star z)$. Neutre : $0\in G$ et $x\star0=x/1=x$. Symétrique : $-x\in G$ et $x\star(-x)=\dfrac{0}{1-x^2}=0$. Donc $(G,\star)$ est un groupe abélien, de neutre $0$, le symétrique de $x$ étant $-x$. De plus $\varphi$ est un isomorphisme de $(G,\star)$ sur $(\mathbb R_+^*,\times)$.
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$\varphi$ étant un morphisme, $\varphi(x^{\star n})=\varphi(x)^n$, donc $x^{\star n}=\psi\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^n\right)$. En multipliant numérateur et dénominateur par $(1+x)^n$ : $$x^{\star n}=\frac{(1+x)^n-(1-x)^n}{(1+x)^n+(1-x)^n}.$$ Pour $x=\frac12$ et $n=3$ : $(1+x)^3=\frac{27}8$ et $(1-x)^3=\frac18$, donc $\left(\tfrac12\right)^{\star3}=\dfrac{26}{28}=\dfrac{13}{14}$.
Vérification directe : $\frac12\star\frac12=\dfrac{1}{5/4}=\dfrac45$, puis $\frac45\star\frac12=\dfrac{13/10}{14/10}=\dfrac{13}{14}$.
Groupe abélien, neutre $0$, symétrique $-x$ ; $x^{\star n}=\frac{(1+x)^n-(1-x)^n}{(1+x)^n+(1-x)^n}$ ; $\left(\tfrac12\right)^{\star3}=\frac{13}{14}$