Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Partie stable, loi induite, distributivité
Partie stable, loi induite, distributivité : définition (MPSI)
Définition
Partie stable, loi induite, distributivité
- Une partie $F\subset E$ est stable par $\star$ si $\forall x,y\in F,\ x\star y\in F$. La restriction de $\star$ à $F\times F$ est alors une loi interne sur $F$, appelée loi induite.
- Si $\star$ et $\top$ sont deux lois sur $E$, $\star$ est distributive sur $\top$ si pour tous $x,y,z\in E$ : $$x\star(y\top z)=(x\star y)\top(x\star z)\quad\text{et}\quad (y\top z)\star x=(y\star x)\top(z\star x).$$ Exemple : $\times$ est distributive sur $+$ dans $\mathbb R$ ; $\cap$ est distributive sur $\cup$ dans $\mathcal P(E)$.
S’entraîner
- Une loi translatée sur $\mathbb Z$
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
- L'anneau $\mathbb Z[i\sqrt2]$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Partie stable, loi induite, distributivité