On définit sur $\mathbb Z$ la loi $x\star y=x+y+2$.
- Montrer que $\star$ est une loi de composition interne, commutative et associative.
- Déterminer l'élément neutre de $\star$.
- Montrer que tout $x\in\mathbb Z$ est symétrisable et donner son symétrique.
- Conclure sur la structure de $(\mathbb Z,\star)$. Calculer $3\star3\star3$ et le symétrique de $5$.
Pour l'associativité, développer $(x\star y)\star z$ et $x\star(y\star z)$ et comparer.
Le neutre $e$ doit vérifier $x+e+2=x$ pour tout $x$.
Pour le symétrique, résoudre $x+y+2=e$ en $y$.
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Pour $x,y\in\mathbb Z$, $x+y+2\in\mathbb Z$ : la loi est interne. Comme $x+y+2=y+x+2$, elle est commutative. Pour $x,y,z\in\mathbb Z$ : $$(x\star y)\star z=(x+y+2)+z+2=x+y+z+4,\qquad x\star(y\star z)=x+(y+z+2)+2=x+y+z+4.$$ La loi est donc associative.
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Si $e$ est neutre, $x\star e=x$ pour tout $x$, soit $x+e+2=x$, d'où $e=-2$. Réciproquement, $x\star(-2)=x-2+2=x$ et, par commutativité, $(-2)\star x=x$. Le neutre est $-2$.
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Soit $x\in\mathbb Z$. On a $x\star y=-2\iff x+y+2=-2\iff y=-x-4$. Comme $-x-4\in\mathbb Z$ et que la loi est commutative, $x\star(-x-4)=(-x-4)\star x=-2$. Tout élément est symétrisable, de symétrique $-x-4$.
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Les trois axiomes sont vérifiés et la loi est commutative : $(\mathbb Z,\star)$ est un groupe abélien. D'après le calcul de la question 1, $3\star3\star3=3+3+3+4=13$. Le symétrique de $5$ est $-5-4=-9$ ; vérification : $5+(-9)+2=-2$.
Remarque : $\varphi:x\mapsto x+2$ vérifie $\varphi(x\star y)=x+y+4=\varphi(x)+\varphi(y)$ ; c'est un isomorphisme de $(\mathbb Z,\star)$ sur $(\mathbb Z,+)$, ce qui explique tous ces résultats.
Groupe abélien ; neutre $-2$ ; symétrique de $x$ : $-x-4$ ; $3\star3\star3=13$ ; symétrique de $5$ : $-9$