Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Étudier une loi donnée par une formule
Étudier une loi donnée par une formule : méthode (MPSI)
Méthode
Étudier une loi donnée par une formule
- Vérifier que la loi est interne : $x\star y$ reste dans l'ensemble.
- Commutativité : comparer $x\star y$ et $y\star x$.
- Associativité : calculer $(x\star y)\star z$ et $x\star(y\star z)$. Une identité algébrique qui « factorise » la loi simplifie souvent le calcul.
- Neutre : résoudre $x\star e=x$ pour tout $x$, puis vérifier $e\star x=x$.
- Symétrique : pour $x$ fixé, résoudre $x\star y=e$ en $y$, puis vérifier $y\star x=e$.
Exemple
La loi $x\star y=x+y-xy$ sur $\mathbb R$
La loi est interne sur $\mathbb R$ et commutative. L'identité clé est $$1-x\star y=1-x-y+xy=(1-x)(1-y).$$ Associativité. $1-(x\star y)\star z=(1-x\star y)(1-z)=(1-x)(1-y)(1-z)$, et de même $1-x\star(y\star z)=(1-x)(1-y)(1-z)$. Donc $(x\star y)\star z=x\star(y\star z)$.
Neutre. $x\star 0=x+0-0=x$ : le neutre est $0$.
Symétriques. $x\star y=0\iff(1-x)(1-y)=1$. Si $x=1$, c'est impossible : d'ailleurs $1\star y=1$ pour tout $y$. Si $x\neq 1$, on obtient $1-y=\dfrac{1}{1-x}$, soit $$y=\frac{x}{x-1}.$$ Conclusion : $0$ est neutre, et les éléments symétrisables sont les réels $x\neq 1$.
S’entraîner
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Étudier une loi donnée par une formule