Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Règles sur les puissances
Règles sur les puissances : énoncé (MPSI)
Propriété
Règles sur les puissances
Pour $x\in G$ et $m,n\in\mathbb Z$ : $$x^{m+n}=x^m x^n,\qquad (x^m)^n=x^{mn},\qquad (x^n)^{-1}=x^{-n}.$$ Si de plus $xy=yx$, alors $(xy)^n=x^ny^n$ pour tout $n\in\mathbb Z$.
Attention
$(xy)^n\neq x^ny^n$ en général
Dans un groupe non abélien, $(xy)^2=xyxy$, qui n'a aucune raison de valoir $xxyy$. Dans $S_3$, avec les transpositions $\tau_1,\tau_2$ ci-dessus : $\tau_1^2=\tau_2^2=\mathrm{id}$, donc $\tau_1^2\tau_2^2=\mathrm{id}$, alors que $(\tau_1\tau_2)^2\neq\mathrm{id}$ ($\tau_1\tau_2$ est la permutation $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 1$, et son carré envoie $1$ sur $3$).
S’entraîner
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
- Réunion de deux sous-groupes
- Le groupe des inversibles de $\mathbb Z[\sqrt2]$ (type Mines-Ponts)