Règles de calcul dans un groupe : énoncé (MPSI)

Propriété

Règles de calcul dans un groupe

Soit $(G,\cdot)$ un groupe de neutre $e$. Pour tous $a,b,x,y,z\in G$ :

Simplification : $xy=xz\Rightarrow y=z$ et $yx=zx\Rightarrow y=z$.
L'équation $ax=b$ a une unique solution $x=a^{-1}b$ ; l'équation $xa=b$ a une unique solution $x=ba^{-1}$.
$(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ et $(x^{-1})^{-1}=x$.

Démonstration : Règles de calcul dans un groupe

Démonstration

Règles de calcul

Si $xy=xz$, on multiplie à gauche par $x^{-1}$ : $x^{-1}(xy)=x^{-1}(xz)$, donc par associativité $ey=ez$, soit $y=z$. Même raisonnement à droite.
$x=a^{-1}b$ convient : $a(a^{-1}b)=eb=b$. Si $ax=b$, alors en multipliant à gauche par $a^{-1}$, $x=a^{-1}b$. D'où existence et unicité.
C'est la propriété du symétrique d'un produit, vue dans la section précédente.

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