Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Groupe produit
Groupe produit : définition (MPSI)
Définition
Groupe produit
Si $(G,\cdot)$ et $(G',*)$ sont deux groupes, $G\times G'$ muni de la loi $$(x,x')\,(y,y')=(x\cdot y,\ x'*y')$$ est un groupe, de neutre $(e,e')$, le symétrique de $(x,x')$ étant $(x^{-1},x'^{-1})$. Exemples : $(\mathbb R^2,+)$, $((\mathbb R^*)^n,\times)$.
Exemple
Un groupe défini par une formule
On reprend $x\star y=x+y-xy$ et on pose $G=\mathbb R\setminus\{1\}$.
- Loi interne sur $G$ : si $x\neq1$ et $y\neq1$, alors $1-x\star y=(1-x)(1-y)\neq0$, donc $x\star y\in G$.
- Associativité : déjà établie sur $\mathbb R$, elle reste vraie sur $G$.
- Neutre : $0\in G$.
- Symétrique : pour $x\in G$, le symétrique $\dfrac{x}{x-1}$ est dans $G$, car $\dfrac{x}{x-1}=1$ donnerait $x=x-1$.
Donc $(G,\star)$ est un groupe abélien.
S’entraîner
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
- Réunion de deux sous-groupes
- Endomorphismes de $(\mathbb Z,+)$