Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe
Montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe : méthode (MPSI)
Méthode
Montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe
Trois stratégies, de la plus directe à la plus efficace :
- Vérifier les axiomes un par un : loi interne, associativité, neutre, symétriques.
- Montrer que l'ensemble est un sous-groupe d'un groupe connu (section suivante). L'associativité est alors héritée, et il reste peu de choses à vérifier.
- Trouver une bijection vers un groupe connu qui transforme une loi en l'autre (section sur les morphismes). Dans l'exemple précédent, $\varphi:x\mapsto1-x$ est une bijection de $\mathbb R\setminus\{1\}$ sur $\mathbb R^*$ telle que $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\varphi(y)$.
S’entraîner
- Une loi translatée sur $\mathbb Z$
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe