Exercice corrigé : Le groupe des inversibles de $\mathbb Z[\sqrt2]$ (type Mines-Ponts)

On note $A=\mathbb Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Z\}$, sous-anneau de $\mathbb R$, et $\omega=1+\sqrt2$.

1. Justifier que l'écriture $x=a+b\sqrt2$ est unique. On pose $\bar x=a-b\sqrt2$ et $N(x)=x\bar x=a^2-2b^2$. Montrer que $N(xy)=N(x)N(y)$ et que $x\in A^\times\iff N(x)\in\{-1,1\}$.
2. Vérifier que $\omega\in A^\times$. Soit $x\in A^\times$ avec $x>0$. Montrer qu'il existe un unique $n\in\mathbb Z$ tel que $\omega^n\leq x<\omega^{n+1}$.
3. Soit $y\in A^\times$ tel que $1\leq y<\omega$. Montrer que $y=1$.
4. En déduire que $A^\times=\{\varepsilon\omega^n,\ \varepsilon\in\{-1,1\},\ n\in\mathbb Z\}$.
5. Montrer que $\Psi:(\{-1,1\},\times)\times(\mathbb Z,+)\to(A^\times,\times)$, $(\varepsilon,n)\mapsto\varepsilon\omega^n$ est un isomorphisme de groupes.
6. Déterminer tous les couples $(a,b)\in(\mathbb N^*)^2$ tels que $a^2-2b^2=1$ et $b<100$.