Soit $(G,\cdot)$ un groupe, $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$.
- Montrer que $H\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$.
- En déduire qu'un groupe n'est jamais la réunion de deux sous-groupes distincts de lui-même.
- Dans $(\mathbb C^*,\times)$, $\mathbb U_2\cup\mathbb U_4$ est-il un sous-groupe ? Et $\mathbb U_2\cup\mathbb U_3$ ?
Le sens réciproque est immédiat.
Pour le sens direct, supposer qu'aucune inclusion n'a lieu, choisir $h\in H\setminus K$ et $k\in K\setminus H$, et regarder $hk$.
Si $hk\in H$, multiplier à gauche par $h^{-1}$.
- Si $H\subset K$, alors $H\cup K=K$, qui est un sous-groupe ; de même si $K\subset H$.
Réciproquement, supposons que $H\cup K$ est un sous-groupe et, par l'absurde, que $H\not\subset K$ et $K\not\subset H$. Il existe $h\in H$ avec $h\notin K$, et $k\in K$ avec $k\notin H$. Comme $h,k\in H\cup K$, qui est un sous-groupe, $hk\in H\cup K$.
- Si $hk\in H$, alors $k=h^{-1}(hk)\in H$ car $H$ est un sous-groupe : contradiction.
- Si $hk\in K$, alors $h=(hk)k^{-1}\in K$ : contradiction.
Donc $H\subset K$ ou $K\subset H$.
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Si $G=H\cup K$ avec $H,K$ sous-groupes, alors $H\cup K$ est un sous-groupe (c'est $G$), donc par la question 1, $H\subset K$ ou $K\subset H$. Dans le premier cas $G=K$, dans le second $G=H$. L'un des deux est égal à $G$.
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$\mathbb U_2=\{-1,1\}\subset\mathbb U_4$ car $(-1)^4=1$. Donc $\mathbb U_2\cup\mathbb U_4=\mathbb U_4$ est un sous-groupe.
$-1\in\mathbb U_2$ mais $(-1)^3=-1\neq1$, donc $\mathbb U_2\not\subset\mathbb U_3$. $j=e^{2i\pi/3}\in\mathbb U_3$ mais $j\notin\{-1,1\}$, donc $\mathbb U_3\not\subset\mathbb U_2$. Par la question 1, $\mathbb U_2\cup\mathbb U_3$ n'est pas un sous-groupe. Concrètement, $-j=e^{-i\pi/3}$ n'est ni dans $\mathbb U_2$ ni dans $\mathbb U_3$.
$H\cup K$ sous-groupe $\iff H\subset K$ ou $K\subset H$ ; $\mathbb U_2\cup\mathbb U_4$ oui, $\mathbb U_2\cup\mathbb U_3$ non