Binôme de Newton et factorisation de $a^n-b^n$ : énoncé (MPSI)
Binôme de Newton et factorisation de $a^n-b^n$
Soient $A$ un anneau et $a,b\in A$ qui commutent ($ab=ba$). Pour tout $n\in\mathbb N$ : $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k},$$ et pour tout $n\in\mathbb N^*$ : $$a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}.$$ En particulier, $1-a^n=(1-a)(1+a+\dots+a^{n-1})$ pour tout $a\in A$, car $a$ commute avec $1$.
Démonstration : Binôme de Newton et factorisation de $a^n-b^n$
Binôme et factorisation
Factorisation. Comme $ab=ba$, on peut réordonner les produits : $$(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}.$$ Avec $j=k+1$ dans la première somme, on obtient $\sum_{j=1}^{n}a^jb^{n-j}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}=a^n-b^n$ par télescopage. Le passage $b\,a^k=a^k\,b$ utilise l'hypothèse $ab=ba$.
Binôme. Récurrence sur $n$. Pour $n=0$ : $1=1$. Si la formule vaut au rang $n$ : $$(a+b)^{n+1}=(a+b)\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n+1-k},$$ où l'on a utilisé $b\,a^k=a^k\,b$. En réindexant la première somme et avec la formule de Pascal $\binom n{k-1}+\binom nk=\binom{n+1}k$, on obtient $\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}k a^kb^{n+1-k}$.
L'hypothèse de commutation est indispensable
Sans elle, $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2$, qui diffère de $a^2+2ab+b^2$ dès que $ab\neq ba$. C'est le cas courant pour les matrices. Avant d'appliquer le binôme dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$, il faut vérifier que les deux matrices commutent.
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Structures algébriques usuelles : Binôme de Newton et factorisation de $a^n-b^n$