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Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Sous-anneau

Sous-anneau : définition (MPSI)

Définition

Sous-anneau

Une partie $B$ d'un anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si :

  1. $1_A\in B$ ;
  2. $\forall x,y\in B,\ x-y\in B$ ;
  3. $\forall x,y\in B,\ xy\in B$.

Alors $B$, muni des lois induites, est un anneau de même unité $1_A$. Les points 1 et 2 font de $(B,+)$ un sous-groupe de $(A,+)$.

Exemple

Sous-anneaux

  • $\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$ : chacun est un sous-anneau du suivant.
  • $\mathbb Z[i]=\{a+ib,\ a,b\in\mathbb Z\}$ (entiers de Gauss) est un sous-anneau de $\mathbb C$ : $1=1+0i$ ; la différence de deux éléments est dans $\mathbb Z[i]$ ; et $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$ avec $ac-bd,\ ad+bc\in\mathbb Z$.
  • $\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ est un sous-anneau de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$.
  • $2\mathbb Z$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb Z$ : il ne contient pas $1$.
Attention

Une partie stable qui est un anneau n'est pas forcément un sous-anneau

Dans l'anneau produit $\mathbb R^2$, d'unité $(1,1)$, la partie $B=\{(x,0),\ x\in\mathbb R\}$ est stable par différence et produit, et c'est un anneau d'unité $(1,0)$. Mais $(1,1)\notin B$ : $B$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb R^2$. Le point $1_A\in B$ ne se déduit pas des deux autres.

S’entraîner

Dans le cours

Structures algébriques usuelles : Sous-anneau