Soit $A$ un anneau (non nécessairement commutatif). Un élément $a\in A$ est dit nilpotent s'il existe $n\in\mathbb N^*$ tel que $a^n=0$.
- Soit $a$ nilpotent, avec $a^n=0$. Montrer que $1-a$ est inversible et donner son inverse. Montrer que $1+a$ est aussi inversible.
- Soient $a,b$ nilpotents tels que $ab=ba$, avec $a^p=0$ et $b^q=0$. Montrer que $(a+b)^{p+q-1}=0$ et que $ab$ est nilpotent.
- Soient $u\in A^\times$ et $a$ nilpotent tels que $au=ua$. Montrer que $u-a$ est inversible.
- Dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$, on pose $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $M=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Vérifier que $N$ et $M$ sont nilpotentes, calculer $(I_2-N)^{-1}$, et montrer que $N+M$ n'est pas nilpotente. Quelle hypothèse de la question 2 est en défaut ?
Le cours donne $1-a^n=(1-a)(1+a+\dots+a^{n-1})$ ; vérifier aussi le produit dans l'autre sens.
Dans le binôme, distinguer les termes selon que $k\geq p$ ou $k\leq p-1$.
Écrire $u-a=u(1-u^{-1}a)$ et montrer que $u^{-1}$ commute avec $a$.
Calculer $(N+M)^2$.
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Soit $s=\sum_{k=0}^{n-1}a^k$. Par télescopage, $$(1-a)s=\sum_{k=0}^{n-1}a^k-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}=1-a^n=1,\qquad s(1-a)=\sum_{k=0}^{n-1}a^k-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}=1-a^n=1.$$ Donc $1-a\in A^\times$ et $(1-a)^{-1}=1+a+\dots+a^{n-1}$. Comme $-a$ commute avec lui-même, $(-a)^n=(-1)^na^n=0$ : $-a$ est nilpotent, donc $1+a=1-(-a)$ est inversible, d'inverse $\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ka^k$.
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Comme $ab=ba$, le binôme s'applique : $$(a+b)^{p+q-1}=\sum_{k=0}^{p+q-1}\binom{p+q-1}{k}a^kb^{p+q-1-k}.$$ Si $k\geq p$, $a^k=a^pa^{k-p}=0$. Si $k\leq p-1$, alors $p+q-1-k\geq q$ et $b^{p+q-1-k}=0$. Tous les termes sont nuls : $(a+b)^{p+q-1}=0$. Par ailleurs, $a$ et $b$ commutant, $(ab)^p=a^pb^p=0$ : $ab$ est nilpotent.
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En multipliant $au=ua$ à gauche et à droite par $u^{-1}$ : $u^{-1}(au)u^{-1}=u^{-1}(ua)u^{-1}$, soit $u^{-1}a=au^{-1}$. Donc $(u^{-1}a)^n=(u^{-1})^na^n=0$ : $u^{-1}a$ est nilpotent. Par la question 1, $1-u^{-1}a$ est inversible. Comme $u-a=u(1-u^{-1}a)$ est un produit de deux inversibles, il est inversible.
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$N^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=0$ et de même $M^2=0$. Par la question 1, $(I_2-N)^{-1}=I_2+N=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ; vérification : $(I_2-N)(I_2+N)=I_2-N^2=I_2$.
$N+M=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $(N+M)^2=I_2$. Par récurrence, $(N+M)^k$ vaut $I_2$ si $k$ est pair et $N+M$ si $k$ est impair ; jamais la matrice nulle. $N+M$ n'est pas nilpotente. L'hypothèse en défaut est la commutation : $NM=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\neq MN=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$.
$(1-a)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}a^k$ ; $(a+b)^{p+q-1}=0$ si $ab=ba$ ; $(I_2-N)^{-1}=I_2+N$ ; $(N+M)^2=I_2$, non nilpotente car $NM\neq MN$