Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Morphisme d'anneaux
Morphisme d'anneaux : définition (MPSI)
Définition
Morphisme d'anneaux
Soient $A$ et $B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux si pour tous $x,y\in A$ : $$f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad f(xy)=f(x)f(y),\qquad f(1_A)=1_B.$$ Un morphisme d'anneaux bijectif est un isomorphisme ; sa réciproque est encore un morphisme d'anneaux (même preuve que pour les groupes, appliquée aux deux lois). Le noyau d'un morphisme d'anneaux est son noyau en tant que morphisme de groupes additifs : $\mathrm{Ker}\,f=\{x\in A,\ f(x)=0_B\}$.
Exemple
Morphismes d'anneaux
- La conjugaison $z\mapsto\bar z$ est un automorphisme de l'anneau $\mathbb C$.
- Pour $x_0\in X$, l'évaluation $f\mapsto f(x_0)$ est un morphisme d'anneaux de $\mathcal F(X,\mathbb R)$ dans $\mathbb R$.
- L'application $x\mapsto(x,0)$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$ respecte l'addition et la multiplication, mais envoie $1$ sur $(1,0)\neq(1,1)$ : ce n'est pas un morphisme d'anneaux. La condition $f(1_A)=1_B$ doit être vérifiée à part.
S’entraîner
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Endomorphismes de $(\mathbb Z,+)$
- Morphismes d'anneaux de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$
- Le groupe des transformations affines de $\mathbb R$ (type CCINP)