Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Anneau intègre
Anneau intègre : définition (MPSI)
Définition
Anneau intègre
Un élément $a\neq0$ d'un anneau commutatif $A$ est un diviseur de zéro s'il existe $b\neq0$ tel que $ab=0$.
Un anneau $A$ est intègre s'il est commutatif, non nul ($1_A\neq0_A$), et sans diviseur de zéro : $$\forall a,b\in A,\quad ab=0\Rightarrow(a=0\ \text{ou}\ b=0).$$
Exemple
Intègre ou non
- $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ sont intègres. Tout sous-anneau d'un anneau intègre est intègre ; par exemple $\mathbb Z[i]$.
- $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ n'est pas intègre : avec $f(x)=\max(x,0)$ et $g(x)=\max(-x,0)$, on a $fg=0$ alors que $f\neq0$ et $g\neq0$.
- $\mathbb R^2$ n'est pas intègre : $(1,0)(0,1)=(0,0)$.
S’entraîner
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
- L'anneau $\mathbb Z[i\sqrt2]$
- Éléments nilpotents d'un anneau
- Le groupe des inversibles de $\mathbb Z[\sqrt2]$ (type Mines-Ponts)