Lever une forme indéterminée : méthode (MPSI)

Méthode

Lever une forme indéterminée

Fraction rationnelle en $n$ : on factorise numérateur et dénominateur par leur terme dominant.
Différence de racines : on multiplie par la quantité conjuguée.
Puissance $a_n^{b_n}$ : on écrit $a_n^{b_n}=\exp(b_n\ln a_n)$ et on étudie l'exposant.
Mélange de puissances, exponentielles, logarithmes : on factorise par le terme prépondérant et on utilise les croissances comparées de Terminale : pour $\alpha>0$, $\beta>0$ et $q>1$, $$\frac{n^\alpha}{q^n}\to0,\qquad\frac{(\ln n)^\beta}{n^\alpha}\to0.$$

Exemple

Deux formes indéterminées

$u_n=\frac{2n^2-3n+1}{n^2+5}$ est de la forme $\frac\infty\infty$. Pour $n\ge1$ : $$u_n=\frac{n^2\left(2-\frac3n+\frac1{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac5{n^2}\right)}=\frac{2-\frac3n+\frac1{n^2}}{1+\frac5{n^2}}\to\frac21=2.$$
$v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ est de la forme $+\infty-\infty$. Avec la quantité conjuguée : $$v_n=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}.$$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $v_n\to0$.

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