Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Une suite convergente est bornée
Une suite convergente est bornée : énoncé (MPSI)
Propriété
Une suite convergente est bornée
Toute suite convergente est bornée.
Démonstration : Une suite convergente est bornée
Démonstration
Preuve
Soit $u_n\to\ell$. Avec $\varepsilon=1$, il existe $N$ tel que $|u_n-\ell|\le1$ pour $n\ge N$, donc $|u_n|\le|u_n-\ell|+|\ell|\le1+|\ell|$ pour $n\ge N$. On pose $$K=\max\big(|u_0|,|u_1|,\dots,|u_{N-1}|,\ 1+|\ell|\big).$$ Alors $|u_n|\le K$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Attention
La réciproque est fausse
La suite $((-1)^n)$ est bornée mais diverge (on le prouvera simplement avec les suites extraites). Une suite bornée n'est pas forcément convergente ; une suite non bornée, en revanche, est forcément divergente.
S’entraîner
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
- Suite récurrente, fonction décroissante
- Trois suites extraites qui se recouvrent
- Théorème de Cesàro et application à une suite récurrente
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Une suite convergente est bornée