Opérations sur les limites finies : énoncé (MPSI)

Somme. Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_n-\ell|\le\frac\varepsilon2$ pour $n\ge N_1$ et $N_2$ tel que $|v_n-\ell'|\le\frac\varepsilon2$ pour $n\ge N_2$. Pour $n\ge\max(N_1,N_2)$ : $$|(u_n+v_n)-(\ell+\ell')|\le|u_n-\ell|+|v_n-\ell'|\le\varepsilon.$$ Pour $\lambda u_n$ avec $\lambda\neq0$, on utilise $|\lambda u_n-\lambda\ell|=|\lambda|\,|u_n-\ell|$ et le rang associé à $\frac{\varepsilon}{|\lambda|}$.

Produit. La suite $(u_n)$ converge donc est bornée : il existe $M>0$ tel que $|u_n|\le M$ pour tout $n$. On écrit $$|u_nv_n-\ell\ell'|=|u_n(v_n-\ell')+\ell'(u_n-\ell)|\le M|v_n-\ell'|+|\ell'|\,|u_n-\ell|.$$ Soit $\varepsilon>0$. À partir d'un certain rang, $|v_n-\ell'|\le\frac{\varepsilon}{2M}$ et $|u_n-\ell|\le\frac{\varepsilon}{2(|\ell'|+1)}$, d'où $|u_nv_n-\ell\ell'|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$.

Quotient. Il suffit de montrer $\frac1{v_n}\to\frac1{\ell'}$ puis d'appliquer le produit. À partir d'un rang $N_0$, $|v_n|\ge\frac{|\ell'|}2$, donc $$\left|\frac1{v_n}-\frac1{\ell'}\right|=\frac{|v_n-\ell'|}{|v_n|\,|\ell'|}\le\frac{2}{|\ell'|^2}|v_n-\ell'|,$$ et ce majorant est $\le\varepsilon$ dès que $|v_n-\ell'|\le\frac{\varepsilon|\ell'|^2}{2}$.

Suite bornée fois suite de limite nulle. Si $|u_n|\le M$ avec $M>0$ et $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $|v_n|\le\frac\varepsilon M$ pour $n\ge N$, donc $|u_nv_n|\le\varepsilon$.