Limite infinie : définition (MPSI)

On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $$\forall A\in\mathbb R,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ u_n\ge A,$$ et qu'elle tend vers $-\infty$ si $\forall A\in\mathbb R,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ u_n\le A$.

Une suite qui tend vers $\pm\infty$ est divergente : elle n'a pas de limite finie. La limite dans $\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, quand elle existe, est unique. Une suite peut diverger sans tendre vers l'infini : c'est le cas de $((-1)^n)$.