Limite finie, suite convergente : définition (MPSI)
Limite finie, suite convergente
Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell\in\mathbb R$. On dit que $(u_n)$ tend vers $\ell$, ou converge vers $\ell$, si $$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|\le\varepsilon.$$ On note $u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\ell$ ou $u_n\to\ell$.
Une suite est convergente s'il existe un réel $\ell$ vers lequel elle converge. Sinon, elle est divergente.
Lire la définition
- Quelle que soit la précision $\varepsilon$ exigée, tous les termes sont à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$ à partir d'un certain rang.
- Le rang $N$ dépend de $\varepsilon$, jamais de $n$.
- On peut remplacer $\le\varepsilon$ par $<\varepsilon$ : les deux définitions sont équivalentes, puisque $|u_n-\ell|\le\frac\varepsilon2$ entraîne $|u_n-\ell|<\varepsilon$.
- $u_n\to\ell$ équivaut à $|u_n-\ell|\to0$. Toute convergence se ramène ainsi à une convergence vers $0$.
- Modifier un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la limite.
Utiliser la définition
Montrons que $u_n=\frac{2n+1}{n+1}$ tend vers $2$. On calcule $$|u_n-2|=\left|\frac{2n+1-2n-2}{n+1}\right|=\frac1{n+1}.$$ Soit $\varepsilon>0$. On pose $N=\lfloor1/\varepsilon\rfloor$. Pour $n\ge N$, on a $n+1\ge N+1>\frac1\varepsilon$, donc $\frac1{n+1}<\varepsilon$. Ainsi $|u_n-2|\le\varepsilon$ pour tout $n\ge N$, et $u_n\to2$.
S’entraîner
- Revenir à la définition de la limite
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Un produit infini par la limite monotone
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Limite finie, suite convergente
- Limite infinie
- Une suite convergente est bornée
- Signe d'une suite de limite non nulle
- Opérations sur les limites finies
- Opérations avec des limites infinies
Voir aussi en Terminale spé : Limite finie, suite convergente