Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Signe d'une suite de limite non nulle
Signe d'une suite de limite non nulle : énoncé (MPSI)
Propriété
Signe d'une suite de limite non nulle
Si $u_n\to\ell$ avec $\ell>0$, alors $u_n\ge\frac\ell2>0$ à partir d'un certain rang.
Plus généralement, si $\ell\neq0$, alors $|u_n|\ge\frac{|\ell|}2>0$ à partir d'un certain rang ; en particulier $u_n\neq0$ à partir d'un certain rang.
Démonstration : Signe d'une suite de limite non nulle
Démonstration
Preuve
Avec $\varepsilon=\frac\ell2>0$, il existe $N$ tel que, pour $n\ge N$, $\ell-\frac\ell2\le u_n\le\ell+\frac\ell2$, donc $u_n\ge\frac\ell2$.
Si $\ell\neq0$, l'inégalité $\big||u_n|-|\ell|\big|\le|u_n-\ell|$ montre que $|u_n|\to|\ell|>0$, et on applique ce qui précède à $(|u_n|)$.
S’entraîner
- Revenir à la définition de la limite
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Un produit infini par la limite monotone
Dans le cours
Suites réelles : convergence : Signe d'une suite de limite non nulle