Montrer que deux suites sont adjacentes : méthode (MPSI)

Pour $n\ge1$, posons $u_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}$ et $v_n=u_n+\frac1{n\cdot n!}$.

• $u_{n+1}-u_n=\frac1{(n+1)!}>0$ : $(u_n)$ est croissante.
• En réduisant au dénominateur commun $n(n+1)\,(n+1)!=n\cdot n!\cdot(n+1)^2$ : $$v_{n+1}-v_n=\frac1{(n+1)!}+\frac1{(n+1)(n+1)!}-\frac1{n\cdot n!}=\frac{n(n+1)+n-(n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!}<0.$$ Donc $(v_n)$ est décroissante.
• $v_n-u_n=\frac1{n\cdot n!}\to0$.

Les suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$ avec $u_n\le\ell\le v_n$. Pour $n=5$ : $u_5=\frac{163}{60}\approx2{,}71667$ et $v_5=\frac{1631}{600}\approx2{,}71833$. On montrera avec la formule de Taylor que $\ell=e$.