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Théorème de la limite monotone : énoncé (MPSI)

Théorème

Théorème de la limite monotone

Soit $(u_n)$ une suite croissante.

Si $(u_n)$ est majorée, elle converge et $\lim u_n=\sup\{u_n,\ n\in\mathbb N\}$.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée, elle tend vers $+\infty$.

De même, une suite décroissante minorée converge vers $\inf\{u_n,\ n\in\mathbb N\}$, et une suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$. En particulier, toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie.

Démonstration : Théorème de la limite monotone

Démonstration

Preuve

Cas majoré. L'ensemble $E=\{u_n,\ n\in\mathbb N\}$ est non vide et majoré : par la propriété de la borne supérieure, il admet une borne supérieure $S$. Soit $\varepsilon>0$. Le réel $S-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $E$ (car $S$ est le plus petit), donc il existe $N$ tel que $u_N>S-\varepsilon$. Pour $n\ge N$, la croissance et la définition de $S$ donnent $$S-\varepsilon<u_N\le u_n\le S,$$ donc $|u_n-S|\le\varepsilon$. Ainsi $u_n\to S$.

Cas non majoré. Soit $A\in\mathbb R$. Comme $A$ ne majore pas la suite, il existe $N$ tel que $u_N>A$. Pour $n\ge N$, $u_n\ge u_N>A$. Donc $u_n\to+\infty$.

Cas décroissant. On applique ce qui précède à la suite croissante $(-u_n)$.

Remarque

Ce que dit et ne dit pas le théorème

Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n\le\ell$ pour tout $n$, puisque $\ell$ est la borne supérieure des termes.
Le théorème prouve la convergence sans donner la valeur de la limite. Une suite croissante majorée par $M$ converge vers une limite $\ell\le M$, pas forcément égale à $M$.
Il repose sur la propriété de la borne supérieure. Il est faux dans $\mathbb Q$ : la suite croissante des approximations décimales par défaut de $\sqrt2$ est majorée par $2$ mais n'a pas de limite dans $\mathbb Q$.

Exemple

Convergence sans calcul de la limite

Soit $S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ pour $n\ge1$. La suite est croissante car $S_{n+1}-S_n=\frac1{(n+1)^2}>0$.

Pour $k\ge2$, $\frac1{k^2}\le\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k$. Par télescopage, pour $n\ge2$ : $$S_n\le1+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=1+1-\frac1n<2,$$ et $S_1=1<2$. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers une limite $\ell\le2$. La valeur $\ell=\frac{\pi^2}6$ est hors programme à ce stade.

S’entraîner

Dans le cours

Suites réelles : convergence : Théorème de la limite monotone