Théorème des suites adjacentes : énoncé (MPSI)

Posons $w_n=v_n-u_n$. On a $w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)\le0$ : $(w_n)$ est décroissante. Fixons $n$. Pour tout $p\ge n$, $w_p\le w_n$ ; en passant à la limite quand $p\to+\infty$ (la suite $(w_p)$ converge vers $0$), on obtient $0\le w_n$. Donc $u_n\le v_n$ pour tout $n$.

Par monotonie, $u_0\le u_n\le v_n\le v_0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $\ell$. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel $\ell'$. Alors $\ell'-\ell=\lim(v_n-u_n)=0$, donc $\ell=\ell'$.

Enfin, $(u_n)$ croissante de limite $\ell$ donne $u_n\le\ell$, et $(v_n)$ décroissante de limite $\ell$ donne $\ell\le v_n$.