Soit $(u_n)_{n\ge1}$ une suite réelle. On pose $c_n=\frac1n\sum_{k=1}^nu_k$ pour $n\ge1$.
- (Théorème de Cesàro) On suppose $u_n\to\ell\in\mathbb R$. Montrer que $c_n\to\ell$.
- Montrer par un exemple que $(c_n)$ peut converger sans que $(u_n)$ converge.
- Soit $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite telle que $x_{n+1}-x_n\to a\in\mathbb R$. Montrer que $\frac{x_n}n\to a$.
- Soit $(y_n)$ définie par $y_0=1$ et $y_{n+1}=y_n+\frac1{y_n}$. (a) Montrer que $(y_n)$ est bien définie, que $y_n\ge1$ pour tout $n$ et que $y_n\to+\infty$. (b) Calculer $y_{n+1}^2-y_n^2$ et en déduire la limite de $\frac{y_n}{\sqrt n}$.
Écrire $c_n-\ell=\frac1n\sum_{k=1}^n(u_k-\ell)$ et couper la somme au rang $N$ associé à $\frac\varepsilon2$.
La première partie de la somme est fixe une fois $N$ choisi : divisée par $n$, elle tend vers $0$.
Pour la question 3, appliquer Cesàro à $u_k=x_k-x_{k-1}$ : la somme est télescopique.
Pour 4(a), raisonner par l'absurde sur la limite éventuelle d'une suite croissante.
Pour 4(b), appliquer la question 3 à $x_n=y_n^2$.
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Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N\ge1$ tel que $|u_k-\ell|\le\frac\varepsilon2$ pour $k\ge N$. On pose $C=\sum_{k=1}^{N-1}|u_k-\ell|$ (avec $C=0$ si $N=1$) : c'est une constante. Pour $n\ge N$ : $$|c_n-\ell|=\left|\frac1n\sum_{k=1}^n(u_k-\ell)\right|\le\frac Cn+\frac1n\sum_{k=N}^n|u_k-\ell|\le\frac Cn+\frac{n-N+1}n\cdot\frac\varepsilon2\le\frac Cn+\frac\varepsilon2.$$ Soit $N'=\max\left(N,\left\lfloor\frac{2C}\varepsilon\right\rfloor+1\right)$. Pour $n\ge N'$, $n>\frac{2C}\varepsilon$, donc $\frac Cn\le\frac\varepsilon2$ et $|c_n-\ell|\le\varepsilon$. Ainsi $c_n\to\ell$.
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Prenons $u_n=(-1)^n$, qui diverge. On a $\sum_{k=1}^n(-1)^k=-1$ si $n$ est impair et $0$ si $n$ est pair, donc $|c_n|\le\frac1n$ et $c_n\to0$. La réciproque du théorème de Cesàro est fausse.
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Pour $k\ge1$, posons $u_k=x_k-x_{k-1}$. La suite $(u_k)$ est la suite $(x_{n+1}-x_n)$ décalée d'un rang, donc $u_k\to a$. Par Cesàro et télescopage : $$\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=\frac{x_n-x_0}n\to a.$$ Comme $\frac{x_0}n\to0$, on obtient $\frac{x_n}n\to a$.
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(a) Par récurrence : $y_0=1\ge1$, et si $y_n\ge1$, alors $y_n\neq0$, donc $y_{n+1}$ est défini, et $y_{n+1}=y_n+\frac1{y_n}\ge y_n\ge1$. La suite est bien définie, à valeurs dans $[1,+\infty[$, et croissante car $y_{n+1}-y_n=\frac1{y_n}>0$. Si elle convergeait vers $\ell$, on aurait $\ell\ge1$ et, par continuité de $x\mapsto x+\frac1x$ en $\ell$, $\ell=\ell+\frac1\ell$, soit $\frac1\ell=0$ : impossible. Croissante et non convergente, la suite tend vers $+\infty$ (limite monotone).
(b) $y_{n+1}^2=y_n^2+2+\frac1{y_n^2}$, donc $y_{n+1}^2-y_n^2=2+\frac1{y_n^2}\to2$ puisque $y_n\to+\infty$. Par la question 3 appliquée à $x_n=y_n^2$, $\frac{y_n^2}n\to2$. Comme $y_n>0$, $\frac{y_n}{\sqrt n}=\sqrt{\frac{y_n^2}n}\to\sqrt2$ par continuité de la racine carrée en $2$.
$\frac{y_n}{\sqrt n}\to\sqrt2$